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现在我们假设整数a和b为e^p= a / b,并定义以下函数F(x

简介: 现在我们假设整数a和b为e^p= a / b,并定义以下函数F(x):方程15:本证明中用到的函数F(x)的定义。

今天,在这篇文章中,我将描述两个简单的证明欧拉数e≈2.71828是无理数。

第一个证明是由法国数学家和物理学家约瑟夫·傅里叶提出的。

e的简史常数e的发现归功于雅各伯努利,他是伯努利家族中最著名的数学家之一,当时他试图找到极限方程1:这个极限等于e。

然而,是数学家莱昂哈德·欧拉在1731年给德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫的一封信中引入了符号e。

图1:伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉和他的著作《力学》,这是第一本包含公式1给出的量的符号e的出版物。

常数e也可以通过无穷级数得到:方程2:常数e表示为无穷级数的和。

无理数的集合中,两个著名的常数是e和π。

在我以前的文章,证明π是无理数证明圆周率π的无理性。

在这篇文章中,我将描述两个关于e的无理性的证明。

有些无理数是先验的(比如e和π),但有些不是。

后者称为代数数,可以是有理数多项式的根。

图2所示为:实数R(包括本论文中所述的实超越数和实代数数)、无理数、有理数Q、整数Z和自然数N(源)。

证明证明是一种通过证明如果一个人假设命题是假的,那么他就会导致一个,从而确定命题是真的证明。

如引言所述,本文的目的是证明e是无理数。

将给出两种证明,都是通过证明的。

它们是:证明1:证明e是无理数,它基于无穷级数的使用,由约瑟夫·傅里叶提出。

证明2:证明e^r是无理数,r是任何非零有理数。

这个证明是由查尔斯·埃尔米特提出的,它比证明1更普遍。

图3:法国数学家和物理学家约瑟夫·傅里叶,下面的证明I的作者。

证明1: e是无理数。

由于等式右边显然是正的,我们得出结论,对于任意正整数n,等式左边也是正数。

现在假设e是有理数的:方程4:我们假设e是有理数现在,对于任意的q我们总是可以选择一个n的值,使得n>q。

我们下一步是定义以下数字a:方程5:a的定义。

因为n > q, n !可被q整除:方程6这意味着公式5中的数字a是一个正整数(回想一下,我们假设e是有理的)。

然而,使用方程3我们发现:方程7:这个不等式与我们之前得出的a是正整数的结论相。

因此,我们的结论是,我们对e是有理数的最初假设一定是错误的。

图4:最早能找到约瑟夫·傅里叶的证明(我们的证明1)的一本书是加诺特·德·斯泰恩维尔的《几何和代数分析》。

证明2:e:^r是无理数,r是任何非零有理数。

现在让我们来考虑e是无理数的第二个证明(见西蒙斯)图5:左边,法国数学家查尔斯·埃尔米特,我们的第二个证明的作者。

对于这个证明,我们将使用以下辅助函数:方程8:这个函数f (x)将用于证明e^r是无理数。

例如,对于n = 1和2,我们有:方程10:f(x)在n =1和2时由方程9给出的展开式的例子。

对于0< x < 1,遵循以下不等式:方程11:函数f(x)所服从的不等式方程11的证明可以在我以前的一篇文章中找到。

其中两项是:方程12:f(x)的性质。

第三个属性是:方程13,我们需要f(x)的第三个性质这是一个整数。

注意:f(x)和它的所有导数在x=0时都是整数由于f(x)在x与1-x交换时保持不变(反之亦然),函数本身及其导数在x=1时也是整数。

然后,我们有:方程14:这些步骤显示证明e^r是非理性的,这是足以证明对于每个正整数p,e^p是非理性的。

现在我们假设整数a和b为e^p= a / b,并定义以下函数F(x):方程15:本证明中用到的函数F(x)的定义。

然后对下面的等式进行积分方程16:f(x)与F(x)相等。

结果是一个整数:等式17:等式16在0和1之间的积分得到一个整数。

根据式18,不等式之间的表达式不能是正整数。


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